В большинстве случаев в ходе эксперимента несколькими приборами измеряются несколько величин и для получения конечного результата эти измерения необходимо обработать, используя математические операции: сложения, умножения и т.д. Поэтому необходимо оценивать точность опыта в целом с помощью вычисления предельной и среднеквадратической ошибок опыта.
Правила вычисления предельной относительной ошибки опыта:
1. Ошибка суммы заключена между наибольшей и наименьшей из относительных ошибок слагаемых. Обычно учитывается или наибольшая ошибка или средняя арифметическая величина (в лабораторной работе будем пользоваться средней арифметической величиной).
2. Ошибка произведения или частного равна сумме относительных ошибок сомножителей или соответственно делимого и делителя.
3. Ошибка n -ой степени основания в n раз больше относительной ошибки основания.
Для вычисления среднеквадратической ошибки результата косвенных измерений необходимо обеспечить независимость результатов измерений. В этом случае среднеквадратическая ошибка вычисления величины W , являющейся функцией измеряемых прямо параметров x , y , z , … определяется формулой:
где - частные производные функции вычисленные при средних значениях параметров x , y , z , …, - исправленные дисперсии соответственно x , y , z , ….
Пример . Определение погрешности косвенных измерений
В результате многократных измерений были получены средние значения и среднеквадратические ошибки 3-х взаимно независимых параметров:
а) предельную относительную ошибку измерений и предельную относительную ошибку определения функции
б) среднее значение и среднеквадратическую ошибку определения функции
а) Найдём предельные относительные ошибки измерений x , y , z по формуле (13):
Предельную относительную ошибку определения функции
Найдём по правилам вычисления предельной относительной ошибки опыта:
б) Вычислим среднее значение функции
Для вычисления среднеквадратической ошибки определения функции по формуле (14) найдём частные производные:
и вычислим их при средних значениях x , y , z :
Подставляя в формулу (14), получим:
4. Расчёт характеристик линейной регрессионной модели
Одним из эффективных методов установления взаимосвязей между факторами является корреляционно-регрессионный анализ.
Задача корреляционно-регрессионного метода заключается в нахождении эмпирического уравнения, характеризующего связь результативного параметра Y c определённым входным фактором Х .
В качестве формы связи Y и X широко используют линейную зависимость в силу её простоты в расчётах, а также в связи с тем, что к ней можно привести многие другие виды зависимости.
Расчёт линейной регрессионной модели включает следующие этапы:
1. Расчёт теоретического уравнения линейной регрессии;
2. Оценка силы связи, расчёт коэффициента корреляции;
3. Оценка значимости коэффициента корреляции;
4. Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии;
5. Определение адекватности уравнения регрессии и доверительных границ.
Линейная регрессия Y на X имеет вид:
где α и β - параметры регрессии (β называется коэффициентом регрессии).
Статистические оценки и параметров регрессии α и β выбираются таким образом, чтобы значения вычисленные по формуле были как можно ближе к эмпирическим значениям . В качестве меры близости выбирают сумму квадратов отклонений . Метод нахождения параметров с помощью минимизации суммы квадратов отклонений эмпирических значений от теоретических значений в тех же точках называют методом наименьших квадратов.
Оптимальные значения параметров, полученные согласно этому методу, определяются формулами:
где и - средние значения X и Y , которые вычисляют по формулам:
Учитывая (15), запишем эмпирическую линию регрессии в виде:
Силу линейной корреляционной зависимости Y и X характеризует коэффициент корреляции r . Коэффициент r изменяется в пределах от до 1. Чем ближе он к , тем сильнее линейная связь Y и X , в предельном случае, если , имеет место точная линейная функциональная зависимость Y от X . Если , то Y и X не коррелируют. Оценкой коэффициента корреляции r служит выборочный коэффициент корреляции , который вычисляется по формуле:
Коэффициент корреляции определяемый по выборочным данным, может не совпадать с действительным значением, соответствующим генеральной совокупности. Для проверки статистической гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции используют t -критерий Стьюдента, наблюдаемое значение которого вычисляется по формуле:
Критическое значение t -критерия для числа степеней свободы и уровня значимости α находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента . Если , то предположение о нулевом значении коэффициента корреляции не подтверждается, и выборочный коэффициент корреляции значим. Если , то величина r близка к нулю.
Для оценки параметров, входящих в уравнение регрессии (16) , при решении практических задач можно ограничиться построением доверительных интервалов. Для заданной надёжности γ доверительные интервалы для параметров и β определяются формулами:
где - критическое значение t -критерия для числа степеней свободы и уровня значимости , которое находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента , - квадратный корень из остаточной дисперсии , которая находится по формуле:
После получения эмпирического уравнения регрессии, проверяют насколько оно соответствует результатам наблюдений. Для проверки гипотезы о значимости уравнения регрессии используют F -критерий Фишера, наблюдаемое значение которого вычисляют по формуле:
где - исправленная дисперсия Y , которая вычисляется по формуле:
Критическое значение F -критерия для числа степеней свободы и и уровня значимости α находят по таблицам критических точек распределения Фишера-Снедекора . Если , то гипотеза о незначимости уравнения регрессии не подтверждается, и уравнение соответствует результатам наблюдений. Если , то полученное уравнение незначимо.
Ещё одной характеристикой меры того, насколько эмпирическое уравнение хорошо описывает данную систему наблюдений, является коэффициент детерминации d , который вычисляется по формуле:
Чем ближе коэффициент d к единице, тем лучше описание.
После того как модель построена, она используется для анализа и прогноза. Прогноз осуществляется подстановкой фактора в уравнение (17). Получается точечная оценка :
Доверительный интервал для прогнозируемого значения имеет вид:
где - критическое значение t -критерия для числа степеней свободы и уровня значимости , которое находят по таблицам критических точек распределения Стьюдента .
Пример. Построение модели линейной регрессии
По данным наблюдений определить параметры линейного уравнения регрессии Y на X . Найти коэффициенты регрессии и корреляции проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции. Найти доверительные интервалы для параметров уравнения регрессии. Определить коэффициент детерминации. Проверить гипотезу о значимости полученного уравнения регрессии. Найти прогнозируемое моделью значение y при x=x 0 и найти для него доверительный интервал. Уровень значимости принять равным 0,05.
| X | ||||||||
| Y | 0,5 | 0,7 | 0,9 | 1,1 | 1,4 | 1,4 | 1,7 | 1,9 |
Для получения параметров уравнения регрессии составим таблицу. Таблица 2
| 0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9 | -40 -28 -11 | -0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,7 | 0,49 0,25 0,09 0,01 0,04 0,04 0,25 0,49 | 3,3 -0,2 1,8 2,6 10,5 23,8 | 0,43 0,661 0,998 1,239 1,373 1,450 1,604 1,854 | 0,0049 0,0015 0,0077 0,0193 0,0007 0,0025 0,0092 0,0021 | ||
| 9,6 | 1,66 | 83,8 | 0,0479 |
В последней строке таблицы приведены суммы столбцов, используемых в расчётах.
Найдём средние значения X и Y по формуле (16):
Вычислим коэффициент регрессии по формуле (15):
И получим эмпирическое уравнение регрессии, подставляя в (17):
По формуле (28) вычислим теоретические значения и заполним два последних столбца таблицы 2.
Вычислим коэффициент корреляции по формуле (18):
И проверим гипотезу о его значимости. Наблюдаемое значение критерия найдём по формуле (19):
По таблице критических точек распределения Стьюдента найдём критическую точку распределения Стьюдента с числом степеней свободы и уровнем значимости Получим и сравним и : следовательно, коэффициент корреляции значим, и Y и X связаны линейной корреляционной зависимостью.
Для определения доверительных интервалов параметров уравнения линейной регрессии (28) найдём остаточную дисперсию по формуле (22):
Подставляя в формулу (20), получим доверительный интервал для Вычисляя, получим интервальную оценку для с надёжностью
Доверительный интервал для получим по формуле (21):
Итак, интервальная оценка для параметра с надёжностью
Проверим гипотезу о значимости полученного уравнения регрессии. Для вычисления наблюдаемого значения F -критерия найдём исправленную дисперсию Y по формуле (24): Подставляя в формулу (23), получим: По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора для числа степеней свободы и на уровне значимости найдём Сравнивая наблюдаемое и критическое значения F -критерия, получим следовательно, уравнение значимо.
Для оценки адекватности линейной модели наблюдаемым значениям найдём также коэффициент детерминации по формуле (25):
Этот результат истолковывается так: 97,1% изменчивости Y объясняется изменением фактора X , а на остальные случайные факторы приходится 2,9% изменчивости. Однако, этот вывод действителен только для рассматриваемого интервала значений X .
Используем уравнение (28) для прогноза. При точечную оценку для y получим путём подстановки в формулу (28): Доверительный интервал для получим по формуле (27):
Окончательно, интервальная оценка для с надёжностью
Погрешности измерений физических величин
1.Введение(измерения и погрешности измерений)
2.Случайные и систематические погрешности
3.Абсолютные и относительные погрешности
4.Погрешности средств измерений
5.Класс точности электроизмерительных приборов
6.Погрешность отсчета
7.Полная абсолютная погрешность прямых измерений
8.Запись окончательного результата прямого измерения
9.Погрешности косвенных измерений
10.Пример
1. Введение(измерения и погрешности измерений)
Физика как наука родилась более 300 лет назад, когда Галилей по сути создал научный изучения физических явлений: физические законы устанавливаются и проверяются экспериментально путем накопления и сопоставления опытных данных, представляемых набором чисел, формулируются законы языком математики, т.е. с помощью формул, связывающих функциональной зависимостью числовые значения физических величин. Поэтому физика- наука экспериментальная, физика- наука количественная.
Познакомимся с некоторыми характерными особенностями любых измерений.
Измерение- это нахождение числового значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений (линейки, вольтметра, часы и т.д.).
Измерения могут быть прямыми и косвенными.
Прямое измерение- это нахождение числового значения физической величины непосредственно средствами измерений. Например, длину - линейкой, атмосферное давление- барометром.
Косвенное измерение- это нахождение числового значения физической величины по формуле, связывающей искомую величину с другими величинами, определяемыми прямыми измерениями. Например сопротивление проводника определяют по формуле R=U/I, где U и I измеряются электроизмерительными приборами.
Рассмотрим пример измерения.
Измерим длину бруска линейкой (цена деления 1 мм). Можно лишь утверждать, что длина бруска составляет величину между 22 и 23 мм. Ширина интервала “неизвестности составляет 1мм, те есть равна цене деления. Замена линейки более чувствительным прибором, например штангенциркулем снизит этот интервал, что приведет к повышению точности измерения. В нашем примере точность измерения не превышает 1мм.
Поэтому измерения никогда не могут быть выполнены абсолютно точно. Результат любого измерения приближенный. Неопределенность в измерении характеризуется погрешностью - отклонением измеренного значения физической величины от ее истинного значения.
Перечислим некоторые из причин, приводящих к появлению погрешностей.
1. Ограниченная точность изготовления средств измерения.
2. Влияние на измерение внешних условий (изменение температуры, колебание напряжения...).
3. Действия экспериментатора (запаздывание с включением секундомера, различное положение глаза...).
4. Приближенный характер законов, используемых для нахождения измеряемых величин.
Перечисленные причины появления погрешностей неустранимы, хотя и могут быть сведены к минимуму. Для установления достоверности выводов, полученных в результате научных исследований существуют методы оценки данных погрешностей.
2. Случайные и систематические погрешности
Погрешности, возникаемые при измерениях делятся на систематические и случайные.
Систематические погрешности- это погрешности, соответствующие отклонению измеренного значения от истинного значения физической величины всегда в одну сторону (повышения или занижения). При повторных измерениях погрешность остается прежней.
Причины возникновения систематических погрешностей:
1) несоответствие средств измерения эталону;
2) неправильная установка измерительных приборов (наклон, неуравновешенность);
3) несовпадение начальных показателей приборов с нулем и игнорирование поправок, которые в связи с этим возникают;
4) несоответствие измеряемого объекта с предположением о его свойствах (наличие пустот и т.д).
Случайные погрешности- это погрешности, которые непредсказуемым образом меняют свое численное значение. Такие погрешности вызываются большим числом неконтролируемых причин, влияющих на процесс измерения (неровности на поверхности объекта, дуновение ветра, скачки напряжения и т.д.). Влияние случайных погрешностей может быть уменьшено при многократном повторении опыта.
3. Абсолютные и относительные погрешности
Для количественной оценки качества измерений вводят понятия абсолютной и относительной погрешностей измерений.
Как уже говорилось, любое измерение дает лишь приближенное значение физической величины, однако можно указать интервал, который содержит ее истинное значение:
А пр - D А < А ист < А пр + D А
Величина D А называется абсолютной погрешностью измерения величины А. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины. Абсолютная погрешность равна модулю максимально возможного отклонения значения физической величины от измеренного значения. А пр - значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений.
Но для оценки качества измерения необходимо определить относительную погрешность e . e = D А/А пр или e= (D А/А пр)*100%.
Если при измерении получена относительная погрешность более 10%, то говорят, что произведена лишь оценка измеряемой величины. В лабораториях физического практикума рекомендуется проводить измерения с относительной погрешностью до 10%. В научных лабораториях некоторые точные измерения (например определение длины световой волны), выполняются с точностью миллионных долей процента.
4. Погрешности средств измерений
Эти погрешности называют еще инструментальными или приборными. Они обусловлены конструкцией измерительного прибора, точностью его изготовления и градуировки. Обычно довольствуются о допустимых инструментальных погрешностях, сообщаемых заводом изготовителем в паспорте к данному прибору. Эти допустимые погрешности регламентируются ГОСТами. Это относится и к эталонам. Обычно абсолютную инструментальную погрешность обозначают D иА.
Если сведений о допустимой погрешности не имеется (например у линейки), то в качестве этой погрешности можно принять половину цены деления.
При взвешивании абсолютная инструментальная погрешность складывается из инструментальных погрешностей весов и гирь. В таблице приведены допустимые погрешности наиболее часто
встречающихся в школьном эксперименте средств измерения.
|
Средства измерения |
Предел измерения |
Цена деления |
Допустимаяпогрешность |
|
линейка ученическая |
|||
|
линейка демонстрационная |
|||
|
лента измерительная |
|||
|
мензурка |
|||
|
гири 10,20, 50 мг |
|||
|
гири 100,200 мг |
|||
|
гири 500 мг |
|||
|
штангенциркуль |
|||
|
микрометр |
|||
|
динамометр |
|||
|
весы учебные |
|||
|
Секундомер |
1с за 30 мин |
||
|
барометр-анероид |
720-780 мм рт.ст. |
1 мм рт.ст |
3 мм рт.ст |
|
термометр лабораторный |
0-100 градусов С |
||
|
амперметр школьный |
|||
|
вольтметр школьный |
5. Класс точности электроизмерительных приборов
Стрелочные электроизмерительные приборы по допустимым значениям погрешностям делятся на классы точности, которые обозначены на шкалах приборов числами 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности g пр прибора показывает, сколько процентов составляет абсолютная погрешность от всей шкалы прибора.
g пр = (D и А/А макс)*100% .
Например абсолютная инструментальная погрешность прибора класса 2,5 составляет 2,5% от его шкалы.
Если известен класс точности прибора и его шкала, то можно определить абсолютную инструментальную погрешность измерения
D иА=( g пр * А макс)/100.
Для повышения точности измерения стрелочным электроизмерительным прибором надо выбирать прибор с такой шкалой, чтобы в процессе измерения располагались во второй половине шкалы прибора.
6. Погрешность отсчета
Погрешность отсчета получается от недостаточно точного отсчитывания показаний средств измерений.
В большинстве случаев абсолютную погрешность отсчета принимают равной половине цены деления. Исключения составляют измерения стрелочными часами (стрелки передвигаются рывками).
Абсолютную погрешность отсчета принято обозначать D оА
7. Полная абсолютная погрешность прямых измерений
При выполнении прямых измерений физической величины А нужно оценивать следующие погрешности: D иА, D оА и D сА (случайную). Конечно, иные источники ошибок, связанные с неправильной установкой приборов, несовмещение начального положения стрелки прибора с 0 и пр. должны быть исключены.
Полная абсолютная погрешность прямого измерения должна включать в себя все три вида погрешностей.
Если случайная погрешность мала по сравнению с наименьшим значением, которое может быть измерено данным средством измерения (по сравнению с ценой деления), то ее можно пренебречь и тогда для определения значения физической величины достаточно одного измерения. В противном случае теория вероятностей рекомендует находить результат измерения как среднее арифметическое значение результатов всей серии многократных измерений, погрешность результата вычислять методом математической статистики. Знание этих методов выходит за пределы школьной программы.
8. Запись окончательного результата прямого измерения
Окончательный результат измерения физической величины А следует записывать в такой форме;
А=А пр + D А, e= (D А/А пр)*100%.
А пр - значение физической величины, полученное экспериментально, если измерение проводилось многократно, то среднее арифметическое этих измерений. D А- полная абсолютная погрешность прямого измерения.
Абсолютную погрешность обычно выражают одной значащей цифрой.
Пример: L=(7,9 + 0,1) мм, e=13%.
9. Погрешности косвенных измерений
При обработке результатов косвенных измерений физической величины, связанной функционально с физическими величинами А, В и С, которые измеряются прямым способом, сначала определяют относительную погрешность косвенного измерения e= D Х/Х пр, пользуясь формулами, приведенными в таблице (без доказательств).
Абсолютную погрешность определяется по формуле D Х=Х пр *e,
где e выражается десятичной дробью, а не в процентах.
Окончательный результат записывается так же, как и в случае прямых измерений.
|
Вид функции |
Формула |
|
Х=А+В+С |
|
|
Х=А-В |
|
|
Х=А*В*С |
|
|
Х=А n |
|
|
Х=А/В |
|
Пример: Вычислим погрешность измерения коэффициента трения с помощью динамометра. Опыт заключается в том, что брусок равномерно тянут по горизонтальной поверхности и измеряют прикладываемую силу: она равна силе трения скольжения.
С помощью динамометра взвесим брусок с грузами: 1,8 Н. F тр =0,6 Н
μ=0,33.Инструментальная погрешность динамометра (находим по таблице) составляет Δ и =0,05Н, Погрешность отсчета (половина цены деления)
Δ о =0,05Н.Абсолютная погрешность измерения веса и силы трения 0,1 Н.
Относительная погрешность измерения (в таблице 5-я строчка)
, следовательно
абсолютная погрешность косвенного измерения μ составляет0,22*0,33=0,074
Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т.д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т.е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до 
с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность 
, где 
и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина 
называется абсолютной погрешностью
(ошибкой) измерения, а выражение 
, характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.
Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.
Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.
Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т.д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.
Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком
Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т.д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.
Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.
Промахи, или грубые ошибки, - это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.
2 . Оценка систематической (приборной) погрешности
При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.
Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна 
мВ.
Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙10 3 кг/м 3 , то абсолютная погрешность в этом случае равна 
кг/м 3 .
Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.
При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений
функциональной величины 
используется формула
, (1)
где 
- приборные ошибки прямых измерений величины 
, 
- частные производные функции по переменной .
В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид
.
Частные производные по переменным d и h будут равны
, 
.
Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с (2. ..) имеет следующий вид
,
где 
и 
приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра
3. Оценка случайной погрешности.
Доверительный интервал и доверительная вероятность
Ля подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса) , выведенный из следующих эмпирических положений.
погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;
при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,
чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.
График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид
, (2)
где 
- функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки 
, σ – средняя квадратичная ошибка.
Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.
Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического 
. Величина которой определяется по формуле
, (3)
где 
- результат i
-го измерения; 
- среднее арифметическое полученных значений; n
– число измерений.
Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде 
.
Интервал значений от 
до 
, в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом.
Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью,
или надежностью
измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)
Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента.
Это распределение вероятностей случайной величины 
, называемой коэффициентом Стьюдента
, дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .
. (4)
Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ 2 , а существенно зависит от числа опытов n . С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.
Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n , и столбца, соответствующего доверительной вероятности α
Таблица 1.
Пользуясь данными таблицы, можно:
определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;
выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.
При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле
. (5)
Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.
Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.
Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей
, (6)
где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.
В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.
, α=…, Е=…
(7)
Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n
с большой ошибкой. При вычислении Δх
при числе измерений 
рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх
= 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх
=0,04, а если Δх
=0,123, то пишем Δх
=0,12.
Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.
4. Методика расчета погрешностей измерений.
Погрешности прямых измерений
При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.
. (8)
.
.
Определяется суммарная погрешность
Оценивается относительная погрешность результата измерений
.
Записывается окончательный результат в виде
, с α=… Е=…%.
5. Погрешность косвенных измерений
При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины , являющейся функцией других независимых величин 
, можно использовать два способа.
Первый способ
используется, если величина y
определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется 
, а затем определяется среднее арифметическое из всех значений y
i
. (9)
Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.
Второй способ применяется, если данная функция y определяется несколько раз при одних и тех же измерений. В этом случае величина рассчитывается по средним значениям . В нашем лабораторном практикуме чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y . Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле
Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y . Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента , определение случайной и суммарной ошибок осуществляются так же, как и в случае прямых измерений. Аналогичным образом представляется результат всех расчетов в виде
, с α=… Е=…%.
6. Пример оформления лабораторной работы
Лабораторная работа №1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА
Принадлежности: штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело.
Цель работы: ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений.
Порядок выполнения работы
Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.
Расчетная формула для вычисления объема цилиндра
где d – диаметр цилиндра; h – высота.
Результаты измерений
Таблица 2.
№ измерения | ||||||
| ; |
; 
.
; Е = 0,5%.
, Е = 0,5%.
При обработке результатов косвенных измерений физической величины, связанной функционально с физическими величинами А, В и С, которые измеряются прямым способом, сначала определяют относительную погрешность косвенного измерения e= DХ/Х пр, пользуясь формулами, приведенными в таблице (без доказательств).
Абсолютную погрешность определяется по формуле DХ=Х пр *e,
где e выражается десятичной дробью, а не в процентах.
Окончательный результат записывается так же, как и в случае прямых измерений
| Вид функции | Формула |
| Х=А+В+С | |
| Х=А-В | |
| Х=А*В*С | |
| Х=А n | |
| Х=А/В | |
| Х= |
(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm полезно) Как правильно проводить измерения http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220
Пример: Вычислим погрешность измерения коэффициента трения с помощью динамометра. Опыт заключается в том, что брусок равномерно тянут по горизонтальной поверхности и измеряют прикладываемую силу: она равна силе трения скольжения.
С помощью динамометра взвесим брусок с грузами: 1,8 Н. F тр =0,6 Н
μ=0,33. Инструментальная погрешность динамометра (находим по таблице) составляет Δ и =0,05Н, Погрешность отсчета (половина цены деления)
Δ о =0,05Н. Абсолютная погрешность измерения веса и силы трения 0,1 Н.
Относительная погрешность измерения (в таблице 5-я строчка)
Следовательно абсолютная погрешность косвенного измерения μ составляет 0,22*0,33=0,074
Ответ:
Измерить физическую величину - значит сравнить ее с другой однородной величиной, принятой за единицу измерения. Измерение может быть произведено с помощью:
1. мер, представляющих собой образцы единицы измерения (метр, гиря, литровый сосуд и т.п.),
2. измерительных приборов (амперметр, манометр и т.п.),
3. измерительных установок, под которыми понимают совокупность мер, измерительных приборов и вспомогательных элементов.
Измерения бывают прямые и косвенные. В прямых измерениях физическая величина измеряется непосредственно. Прямыми измерениями являются, например, измерение длины линейкой, времени - секундомером, силы тока - амперметром.
В косвенных измерениях непосредственно измеряют не ту величину, значение которой нужно узнать, а другие величины, с которыми искомая величина связана определенной математической зависимостью. Например, плотность тела определяют по измерению его массы и объема, а сопротивление - по измерению силы тока и напряжения.
В силу несовершенства мер и измерительных приборов, а также наших органов чувств, измерения не могут быть выполнены точно, т.е. всякое измерение дает лишь приближенный результат. Кроме того, часто причиной отклонения результатов измерений является природа самой измеряемой величины. Например, температура, измеряемая термометром или термопарой в определенной точке печи, колеблется вследствие конвекции и теплопроводности в определенных пределах. Мерой оценки точности результата измерения служит погрешность измерения (ошибка измерения) .
Для оценки точности указывают либо абсолютную погрешность, либо относительную погрешность измерения. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины. Например, отрезок пути, пройденный телом, , измерен с абсолютной погрешностью . Относительная погрешность измерения - это отношение абсолютной погрешности к значению измеряемой величины. В приведенном примере относительная погрешность равна . Чем меньше погрешность измерения, тем выше его точность.
По источникам своего происхождения погрешности измерения подразделяют на систематические, случайные и грубые (промахи).
1. Систематические погрешности - погрешности измерения, величина которых остается постоянной при повторных измерениях, проводимых одним и тем же методом, с помощью одних и тех же измерительных приборов. Причинами систематических погрешностей являются:
· неисправности, неточности измерительных приборов
· неправомерность, неточность использованной методики измерения
Примером систематических погрешностей может быть измерение температуры термометром со смещенной нулевой точкой, измерение тока неправильно отградуированным амперметром, взвешивание тела на весах при помощи гирь без учета выталкивающей силы Архимеда.
Для устранения или уменьшения систематических погрешностей надо тщательно проверить измерительные приборы, произвести измерение одних и тех же величин разными методами, вводить поправки, когда ошибки заведомо известны (поправки на выталкивающую силу, поправки на показания термометра).
2. Грубые ошибки (промахи) - существенное превышение величины погрешности, ожидаемой при данных условиях измерения. Промахи появляются в результате неправильной записи показаний прибора, неправильного отсчета по прибору, из-за ошибки в расчетах при косвенных измерениях. Источник промахов - невнимательность экспериментатора. Путь устранения этих погрешностей - аккуратность экспериментатора, исключение переписывания протоколов измерения.
3. Случайные погрешности - погрешности, величина которых меняется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины одним и тем же методом при помощи тех же приборов. Источником случайных погрешностей является неконтролируемая невоспроизводимость условий измерения. Например, во время измерения неконтролируемым образом может меняться температура, влажность, атмосферное давление, напряжение в электрической сети, состояния органов чувств экспериментатора. Исключить случайные погрешности нельзя. При многократных измерениях случайные ошибки подчиняются статистическим законам, и их влияние можно учесть.
В физических экспериментах чаще бывает так, что искомая физическая величина сама на опыте измерена быть не может, а является функцией других величин, измеряемых непосредственно. Например, чтобы определить объём цилиндра, надо измерить диаметр D и высоту h , а затем вычислить объем по формуле
Величины D и h будут измерены с некоторой ошибкой. Следовательно, вычисленная величина V получится также с некоторой ошибкой. Надо уметь выражать погрешность вычисленной величины через погрешности измеренных величин.
Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку.
Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.
Пусть искомая величина φ является функцией нескольких переменных Х, У, Z …
φ(Х, У, Z …).
Путем прямых измерений мы можем найти величины , а также оценить их средние абсолютные ошибки … или средние квадратичные ошибки s Х, s У, s Z …
Тогда средняя арифметическая погрешность Dj вычисляется по формуле
где - частные производные от φ по Х, У, Z. Они вычисляются для средних значений …
Средняя квадратичная погрешность вычисляется по формуле
Пример. Выведем формулы погрешности для вычисления объёма цилиндра.
а) Средняя арифметическая погрешность.
Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой DD и Dh.
б) Средняя квадратичная погрешность.
Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой s D , s h .
Погрешность величины объёма будет равна
Если формула представляет выражение удобное для логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять относительную погрешность. Для этого (в случае средней арифметической погрешности) надо проделать следующее.
1. Прологарифмировать выражение.
2. Продифференцировать его.
3. Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.
4. Взять выражение перед различными дифференциалами по модулю.
5. Заменить значки дифференциалов d на значки абсолютной погрешности D.
В итоге получится формула для относительной погрешности
Затем, зная e, можно вычислить абсолютную погрешность Dj
Пример.
Аналогично можно записать относительную среднюю квадратичную погрешность
Правила представления результатов измерения следующие:
1) погрешность должна округляться до одной значащей цифры:
правильно Dj = 0,04,
неправильно - Dj = 0,0382;
2) последняя значащая цифра результата должна быть того же порядка величины, что и погрешность:
правильно j = 9,83±0,03,
неправильно - j = 9,826±0,03;
3) если результат имеет очень большую или очень малую величину, необходимо использовать показательную форму записи - одну и ту же для результата и его погрешности, причем запятая десятичной дроби должна следовать за первой значащей цифрой результата:
правильно - j = (5,27±0,03)×10 -5 ,
неправильно - j = 0,0000527±0,0000003,
j = 5,27×10 -5 ±0,0000003,
j = = 0,0000527±3×10 -7 ,
j = (527±3)×10 -7 ,
j = (0,527±0,003) ×10 -4 .
4) Если результат имеет размерность, ее необходимо указать:
правильно – g=(9,82±0,02) м/c 2 ,
неправильно – g=(9,82±0,02).
Правила построения графиков
1. Графики строятся на миллиметровой бумаге.
2. Перед построением графика необходимо четко определить, какая переменная величина является аргументом, а какая функцией. Значения аргумента откладываются на оси абсцисс (ось х ), значения функции - на оси ординат (ось у ).
3. Из экспериментальных данных определить пределы изменения аргумента и функции.
4. Указать физические величины, откладываемые на координатных осях, и обозначить единицы величин.
5. Нанести на график экспериментальные точки, обозначив их (крестиком, кружочком, жирной точкой).
6. Провести через экспериментальные точки плавную кривую (прямую) так, чтобы эти точки приблизительно в равном количестве располагались по обе стороны от кривой.
Загрузка...
